Baris dan Deret Geometri

1. BARISAN GEOMETRI
   
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1  fungsi eksponen (dalam n)
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
         = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1     Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
             _______      __________
   Ut =  U₁xU_n    = U₂ X U_n-1      dst.   
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
   
   
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   
    Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n  dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ  0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga    S_ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

Contoh 1.7

Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Penyelesaian:

Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

a = 2 dan r = 3

U_n = ar^n-1

2 . 3^n-1 = 4374

3^n-1 = 2187

3^n-1 = 3⁷

n – 1 = 7

n    = 8

S₈   = 6560

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri adalah 6560.